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2024年中学生标准学术能力诊断性测试高三1月数学试卷及答案内容：
中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试
数学试卷
本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，
1.已知m∈R,集合A={m,-l,2,B={aa∈A,若C=AUB,且C的所有元素和为1
则m=
A.-3
B.0
C.1
D.2
2.已知数列{an}满足a1=1,an-al=2°a,a+1，则a。=
A.
3
1
21+1
B.
1
2
2
C.2+1
D.
2”-1
3.复数z满足(z+2)i=1-1(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是
A.-3
B.1
C.i
D.-i
4.在直三棱柱ABC-ABC中，所有棱长均为1，则点A到平面AB,C的距离为
A.②
B.V1o
c.v2
D.vio
5
6
4
5.设(1+2x）”=+ax+a,x2+…+anx”,若as=4,则n=
A.6
B.7
C.8
D.9
6,若不等式V√x2-4x+5+√x2-8x+17≤4的解集为a,b,则a+b的值是
A.5
B.4W2
C.6
D.7
7,已知a=c,b=号n2,c=l15-5n5,则
A.a> b> c
B.b> c> a
C.a> c> b
D.b> a> c
8.已知七y> 0,x+y-4x-4y=3,则13x+少的最大值是
A.15
B.18
C.20
D.24
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得0分，
9.设心，B,y为互不重合的平面，m,n为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是
A.若a∥Y,BMy,则aIB
B.若a∩B=m,m⊥y,则a⊥y,B⊥
C.若m∥a,n∥B,m∥n,则a∥E
D.若a⊥y,B⊥y,则a∥B
10。已知点P为双曲线C:年一广=1上的任意一点，过点P作渐近线的垂线，垂足分别为E,F,
则
A.IPE+IPFI=45
B.IPE-PF1-3
C.PE.PF=_12
8
5
D.Sr的最大值为
25
11.直线：ax+y+c=0和l2:bx+cy+a=0将圆C:(x-1)+(y-1)=1分成长度相等的四段
弧，则(a-1)+(b-1)+(c-1)的取值可以是
8
A3
B.2
C.
D.3
12.已知sin2a+sin2B=2sin(2+2B),且a+B≠k,k∈Z,则tana+2tan(+B)+
3tanB的值可能为
A.-6
B.-5
c.55
D.8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设函数f(x)的定义域为R,f(x)为偶函数，f(x+2)-1为奇函数，当xe[2,4时，f(x)
a-log2x+b,若f(0)+f(6)=4,则a+2b=
4,已知，5是椭圆C:二+片=1a> b> 0)的左、右焦点，P是C上一点，线段P5的中量
线I过点F,与椭圆C相交于AB两点，且4B例=亏a,则椭圆C的离心率为
15.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=e-x的图象关于原点对称，动直线x=a(a≠0)与函数
f(x),g(x)的图象分别交于点A,B,函数f(x)的图象在A处的切线（与函数g(x)的图象
在B处的切线l2相交于点C,则△ABC面积的最小值是
16.对任意的x∈R,不等式(x2-7x+14)≥m(x2-6r+13)(x2-8x+17）恒成立，则实数m
的取值范围为
四、解答题：本题共6小题，共0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20.(12分)如图所示，己知△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，点M是边AB的中点，点
17.(10分)数列a,}的首n项和为S,4=-1,当n之2时，S=a,(3引》
N在边BC上，且BW=3NC.以W为折痕将△BMW折起，使点B到达点D的位置，且平面
DMC⊥平面ABC,连接DA,DC
(1)求证：数列
是等差数列，并求S的表达式：
S
(2)设b=
产，数列，}的前n项和为工，不等式工，≤m2-3m+n对所有的n∈N恒成
2n+1
立，求正整数m的最小值
8,(I2分)如图所示，在△ABC中，AB=1,D是BC上的点，∠BAD=号∠DAC
(第20题图)
(1)若E是线段DM的中点，求证：WE∥平面DAC:
(2)求二面角D一AC-B的余弦值
21,(12分)如图所示，己知抛物线y=x2-1,M(0,),A,B是抛物线与x轴的交点，过点M作
D
(第18题图】
斜率不为零的直线1与抛物线交于C,D两点，与x轴交于点Q,直线AC与直线BD交于点P.
若BC-号证品衣=5
(2)若BD=DC,求△4BC面积的最大值.
4
19.(12分)如图所示，一只蚂蚊从正方体ABCD-ABCD的顶点A出发沿棱爬行，记蚂蚁从一
个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬
行的概率为二，沿正方体的侧陵爬行的概率为
2
(第21题图)
I)求CM-IDMI
CD
的取值范围：
(2)间在平面内是否存在一定点T,使得TP.TQ为定值？若存在，求出点T的坐标：若不存
在，请说明理由。
2.《12分)已知函数f()=+1-nx-a有两个零点，x(k< 5).
(1)求实数a的取值范围：
(第19题图)
(1)若妈蚁爬行次，求妈蚁在下底面顶点的概率：
(2)求证：xx2< 1:
(3)求证：x-x< V后2-4< x行-x.
(2)若蚂蚊爬行5次，记它在顶点C出现的次数为X,求X的分布列与数学期望.
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