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9．证明：${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$（x＞0）．试题答案
分析 令x=$\frac{1}{u}$，则dx=-$\frac{1}{u^2}$du，左边=${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{\frac{1}{x}}^{1}$$\frac{1}{1+（\frac{1}{u}）^2}$•（-$\frac{1}{u^2}$）du=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{1}{u^2+1}$du=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{x^2+1}$=右边．
解答 证明：令x=$\frac{1}{u}$，则dx=d$\frac{1}{u}$=-$\frac{1}{u^2}$du，所以，
左边=${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{\frac{1}{x}}^{1}$$\frac{1}{1+（\frac{1}{u}）^2}$•（-$\frac{1}{u^2}$）du
=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{1}{1+（\frac{1}{u}）^2}$•$\frac{1}{u^2}$du
=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{1}{u^2+1}$du
=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{x^2+1}$
=右边．
因此，${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{x^2+1}$．
点评 本题主要考查了定积分的运算，以及运用换元法证明积分恒等式，属于中档题．
8．在极坐标系中，点（1，0）和点（1，$\frac{π}{2}$）的距离为$\sqrt{2}$．试题答案
分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把点P（1，0）和点Q（1，$\frac{π}{2}$）分别化为直角坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．
解答 解：点P（1，0）和点Q（1，$\frac{π}{2}$）分别化为直角坐标：P（1，0），Q（0，1）．
∴|PQ|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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